コラム：ポットオッズと期待値

【2006/03/23：お詫びと訂正】
　再びiosanさんからのコメントとトラックバックによる指摘を受けて、私が大きく勘違いしていることを理解しました。
　私が大きく勘違いしていたのは、
　　オッズ＝期待値（を1として求めた比率）
　だと思っていたことです。これにより、誤った内容の記事を掲載してしまいましたので、全面的に書き換えます。以前の記事を読まれた方に誤解を与えてしまい、申し訳なく思います。ごめんなさい。
　それから、以前の記事では「2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を納得していない」と掲載しましたが、今は納得しています。iosanさんに改めて感謝いたします。

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　2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を受けて修正を行ないましたが、オッズの考え方がどうも私には馴染みません。いろいろと誤解していた部分もありましたが、コメントやトラックバックによる指摘を受け、また、買ったまままったく読んでいないDavid Sklansky著「The Theory of Poker」に記載されている5カード・ドロー・ポーカーの実例に目を通すことで、オッズが「負ける可能性と勝つ可能性の比率」であることは理解しました。でも、どうも馴染めないのです。それは、私が、オッズではなく、期待値を考えようとしているからかもしれません。

　改めて、期待値について谷岡一郎著「確率・統計であばくギャンブルのからくり」から引用すると、「期待値 = (理論上)平均して戻ってくる金額 / (実際に)賭ける金額」及び「言葉で定義するとすれば『ある特定の賭け方に対し、理論上戻ってくる割合』である」と記載されています（この本では「％」で記載されているのですが、それは省きました）。期待値が1以上である状況が望まれるわけです。

　期待値を1として考えたときに、賭けるチップ量が4ドルの場合、理論上戻ってくる平均チップ量が4であれば良いわけです。
　例えば、同じ状況下で0.2(20%)の確率、つまり5回に1回の割り合いで勝つことが出来ると仮定します。この場合、1回勝つために5回の勝負が必要です。5回の勝負で期待値が1となるような「勝ったときに戻ってくるチップ量」を考えると、毎回の賭けるチップ量が4ドルなら、理論上戻ってくる平均チップ量も4ドルであればよいので、その5回分の20ドルとなります。
　このように考えれば、Outsの確率が0.2のとき、戻ってくるチップ量と賭けるチップ量の比から、20:4 = 5:1 と考えた方が私にとっては自然です。
　ここで注意すべき点は、「戻ってくるチップ量（＝ポット）には、自分が賭けるチップ量も含む」ということです。

　オッズと組み合わせの考えに基づき、出ない組み合わせ（負ける可能性）と出る組み合わせ（勝つ可能性）の比率で考えるときは、目の前のポットが対象であり、ポットにはこれから増える（賭ける）チップ量は含まれません。この考え方は、将来的に起こりうる場面を想定する場合に複雑化する、と私は考えています。
　例えば、1-2-2-4のリミットテーブルで、ポジションはButton、プリフロップで自分がコール、BBチェックで2人が残り、フロップで自分はオープンエンド･ストレート･ドローの状態で、BBがベットしたとします。目の前のポットは7ドルです。私が掲載した2.3 フロップでの確率とポットオッズの表では、オープンエンド･ストレート･ドローのフロップでの確率は0.3145で、ポットオッズは2.18-to-1です。今から出す2ドルに対し、今目の前のポットは十分オッズに合います。しかし、期待するカードはターンかリバーのいずれかでオープンされる確率なので、期待されるカードがリバーでオープンされる（ターンでオープンされない）可能性を考え、ターンで起こりうる状況も想定する必要があります。
　必ずリバーまでカードを見ることを想定し、フロップで自分がコールした後、ターンではストレートが完成しなかったが、BBは再びベットすると想定します。その状況で目の前にあるポットは13ドルとなります。この状況におけるフロップ時点でのオッズは合うのでしょうか。ターンで4ドル出すのだから、目の前には 4 * 2.18 で9ドル以上のポットがあればよい?　いや、フロップで2ドル、ターンで4ドル出すのだから、合わせて6ドルと考えると、6 * 2.18 = 13.08 でオッズはほぼ合う?　いえ、13ドルに自分がフロップで出す2ドルが含まれるのだから、ポットは13ドルではなく11ドルと考えるべきで、オッズは合わなくなります。

　そもそも想定されるポットに自分が出すチップを加算するものではない、とすることがオッズの考え方だと思うのですが、それよりも自分が出したチップを含んだポットを想定した方が、私は自然だと思っています。
　上記の例で言えば、プリフロップが終わってポットは5ドル、フロップで2人とも2ドル出すなら合わせて4ドルでポットは9ドル、ターンで2人とも4ドル出すなら合わせて8ドルでポットは17ドルです。期待値から「戻ってくるチップ量」の比率を考えると、フロップでは3.18:1です。フロップの時点で上記の例のようにターンまで想定すると、自分がフロップとターンで出す6ドルに対し、期待値が1となる比率から算出されるポットは 6 * 3.18 で19ドルとなり、期待値が1を下回ります。

　ということで、もし私のように考える人がいらっしゃれば、このブログに掲載したポットオッズに、それぞれ1を足して考えるようにしてください。

【おまけ】
　いずれ書こうと思っている「駆け引き」について、少し書いておきます。
　上記の例はターンでBBにベットされていることを想定して「期待値が1を下回る」と書いています。逆に言えば、ターンでBBにベットされなければ期待値が1を上回ります。そのために出来ることがあります。フロップで、BBのベットにレイズするのです。BBのハンドしだいで、レイズにコールは出来ても、ターンでベットすることが出来ない可能性があります。ターンで、BBがチェックで、自分もチェックなら、ポットはプリフロップの5ドルとフロップの 4 * 2 = 8ドルで計13ドルです。自分が出した4ドルに対し、ポット（戻ってくるチップ量）が13ドル以上のポットなら期待値が1を上回ります。考え方は違いますが、このときのオッズも（もちろん）合います。
　これが、「オッズに合うようにポットを作る」一例です。