シカでした～（誤解によるお詫びと訂正）

　コラム：ポットオッズと期待値にも書きましたが、再びiosanさんからのコメントとトラックバックによる指摘を受けて、私が大きく勘違いしていることを理解しました。
　私が大きく勘違いしていたのは、
　　オッズ＝期待値（を1として求めた比率）
　だと思っていたことです。これにより、誤った内容の記事を掲載してしまいましたので、コラム：ポットオッズと期待値全面的に書き換えました。以前の記事を読まれた方に誤解を与えてしまい、申し訳なく思います。ごめんなさい。
　それから、以前の記事では「2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を納得していない」と掲載しましたが、今は納得しています。指摘していただいたiosanさんに改めて感謝いたします。

　上記にも書いたように、私は「オッズ」の概念を全く誤解していました。自分の勉強不足を痛感しましたが、更なる誤解をしている可能性も否定できないところが情けないところです。「確率」には苦手意識が強く、このブログを書くにあたって勉強し直しました。結構理解したつもりでいたから掲載を再開したのですが、まだまだのようです。
　と、反省だけで終わってしまうのもなんなので、恥かきついでに私の考えと調べたことを掲載します。

　本来であれば、David Sklanskyの著書など系統立てて記述されている参考書を読んだ上で「戦術論」を書くべきなのでしょうが、それをしたくありません。英語の著書を読むのにかなりの時間を要し、その時間を割く気力に欠けていることも読んでいない理由のひとつですが、「自分の考えで、さまざまな要素を消化して、自分なりの内容を書きたい」と思っていることが一番大きな要因です。だから、参考書の考え方に引きずられたくないので、ほとんど読んでいません。
　当然、私が絶対的に正しいことを書いている保障は出来ませんし、見方によっては驕った考えに受け止められても仕方がないかと思います。が、参考書に書いてあることはその本を読めばよいわけですし、また著者に敬意を払う意味でも考え方をコピーしたくはありません。どんな本がよいかについては、私よりもポーカー経験がずっと豊富な方々が、ブログなどに掲載していますので、そちらを見てください。

　今、確率の話を中心に書いていますが、そのような理由からポーカー参考書にはほとんど目を通していません。見るのは、自分で計算した値が、正しいかどうかを確認するときぐらいです。唯一、Catalin Barboianu著Texas Hold'em Oddsだけは内容を理解しようと努めています。もっとも、内容的には確率の話「しか」記載されていないので、ポーカー参考書としては特殊ですが。

　確率の勉強で参考とした本と主なサイトは以下のとおりです。

・谷岡一郎著「確率・統計であばくギャンブルのからくり」
・横田 壽さんの確率論入門から順列・組み合わせ
・ヨッシーの算数・数学の部屋から順列と組み合わせ

　また、今回の「オッズの勘違い」を正すために、以下のサイトも参考にしました。

・The Math Forum - Ask Dr. MathからOdds vs. Probability

　ちなみに、持っているだけですが、以下の本を所有しています。
・David Sklansky著「Hold 'Em Poker」
・David Sklansky, Mason Malmuth著「Hold'Em Poker for Advanced Players」
・Lou Krieger著「Hold'Em Excellence」
・David Sklansky著「The Theory of Poker」
・Edwin Silberstang著「Winning Poker for the Serious Player」
　…それだけ持っているなら読めよ、という声が聞こえてきそうです。きっと…いつか…多分…読むつもりです。

コラム：ポットオッズと期待値

【2006/03/23：お詫びと訂正】
　再びiosanさんからのコメントとトラックバックによる指摘を受けて、私が大きく勘違いしていることを理解しました。
　私が大きく勘違いしていたのは、
　　オッズ＝期待値（を1として求めた比率）
　だと思っていたことです。これにより、誤った内容の記事を掲載してしまいましたので、全面的に書き換えます。以前の記事を読まれた方に誤解を与えてしまい、申し訳なく思います。ごめんなさい。
　それから、以前の記事では「2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を納得していない」と掲載しましたが、今は納得しています。iosanさんに改めて感謝いたします。

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　2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を受けて修正を行ないましたが、オッズの考え方がどうも私には馴染みません。いろいろと誤解していた部分もありましたが、コメントやトラックバックによる指摘を受け、また、買ったまままったく読んでいないDavid Sklansky著「The Theory of Poker」に記載されている5カード・ドロー・ポーカーの実例に目を通すことで、オッズが「負ける可能性と勝つ可能性の比率」であることは理解しました。でも、どうも馴染めないのです。それは、私が、オッズではなく、期待値を考えようとしているからかもしれません。

　改めて、期待値について谷岡一郎著「確率・統計であばくギャンブルのからくり」から引用すると、「期待値 = (理論上)平均して戻ってくる金額 / (実際に)賭ける金額」及び「言葉で定義するとすれば『ある特定の賭け方に対し、理論上戻ってくる割合』である」と記載されています（この本では「％」で記載されているのですが、それは省きました）。期待値が1以上である状況が望まれるわけです。

　期待値を1として考えたときに、賭けるチップ量が4ドルの場合、理論上戻ってくる平均チップ量が4であれば良いわけです。
　例えば、同じ状況下で0.2(20%)の確率、つまり5回に1回の割り合いで勝つことが出来ると仮定します。この場合、1回勝つために5回の勝負が必要です。5回の勝負で期待値が1となるような「勝ったときに戻ってくるチップ量」を考えると、毎回の賭けるチップ量が4ドルなら、理論上戻ってくる平均チップ量も4ドルであればよいので、その5回分の20ドルとなります。
　このように考えれば、Outsの確率が0.2のとき、戻ってくるチップ量と賭けるチップ量の比から、20:4 = 5:1 と考えた方が私にとっては自然です。
　ここで注意すべき点は、「戻ってくるチップ量（＝ポット）には、自分が賭けるチップ量も含む」ということです。

　オッズと組み合わせの考えに基づき、出ない組み合わせ（負ける可能性）と出る組み合わせ（勝つ可能性）の比率で考えるときは、目の前のポットが対象であり、ポットにはこれから増える（賭ける）チップ量は含まれません。この考え方は、将来的に起こりうる場面を想定する場合に複雑化する、と私は考えています。
　例えば、1-2-2-4のリミットテーブルで、ポジションはButton、プリフロップで自分がコール、BBチェックで2人が残り、フロップで自分はオープンエンド･ストレート･ドローの状態で、BBがベットしたとします。目の前のポットは7ドルです。私が掲載した2.3 フロップでの確率とポットオッズの表では、オープンエンド･ストレート･ドローのフロップでの確率は0.3145で、ポットオッズは2.18-to-1です。今から出す2ドルに対し、今目の前のポットは十分オッズに合います。しかし、期待するカードはターンかリバーのいずれかでオープンされる確率なので、期待されるカードがリバーでオープンされる（ターンでオープンされない）可能性を考え、ターンで起こりうる状況も想定する必要があります。
　必ずリバーまでカードを見ることを想定し、フロップで自分がコールした後、ターンではストレートが完成しなかったが、BBは再びベットすると想定します。その状況で目の前にあるポットは13ドルとなります。この状況におけるフロップ時点でのオッズは合うのでしょうか。ターンで4ドル出すのだから、目の前には 4 * 2.18 で9ドル以上のポットがあればよい?　いや、フロップで2ドル、ターンで4ドル出すのだから、合わせて6ドルと考えると、6 * 2.18 = 13.08 でオッズはほぼ合う?　いえ、13ドルに自分がフロップで出す2ドルが含まれるのだから、ポットは13ドルではなく11ドルと考えるべきで、オッズは合わなくなります。

　そもそも想定されるポットに自分が出すチップを加算するものではない、とすることがオッズの考え方だと思うのですが、それよりも自分が出したチップを含んだポットを想定した方が、私は自然だと思っています。
　上記の例で言えば、プリフロップが終わってポットは5ドル、フロップで2人とも2ドル出すなら合わせて4ドルでポットは9ドル、ターンで2人とも4ドル出すなら合わせて8ドルでポットは17ドルです。期待値から「戻ってくるチップ量」の比率を考えると、フロップでは3.18:1です。フロップの時点で上記の例のようにターンまで想定すると、自分がフロップとターンで出す6ドルに対し、期待値が1となる比率から算出されるポットは 6 * 3.18 で19ドルとなり、期待値が1を下回ります。

　ということで、もし私のように考える人がいらっしゃれば、このブログに掲載したポットオッズに、それぞれ1を足して考えるようにしてください。

【おまけ】
　いずれ書こうと思っている「駆け引き」について、少し書いておきます。
　上記の例はターンでBBにベットされていることを想定して「期待値が1を下回る」と書いています。逆に言えば、ターンでBBにベットされなければ期待値が1を上回ります。そのために出来ることがあります。フロップで、BBのベットにレイズするのです。BBのハンドしだいで、レイズにコールは出来ても、ターンでベットすることが出来ない可能性があります。ターンで、BBがチェックで、自分もチェックなら、ポットはプリフロップの5ドルとフロップの 4 * 2 = 8ドルで計13ドルです。自分が出した4ドルに対し、ポット（戻ってくるチップ量）が13ドル以上のポットなら期待値が1を上回ります。考え方は違いますが、このときのオッズも（もちろん）合います。
　これが、「オッズに合うようにポットを作る」一例です。

2.3 フロップでの確率とポットオッズ

　フロップがオープンされた時点で、まだ見えていないカードの枚数はターンとリバーの2枚です。このときの残りのカード枚数は、52枚から自分のカード2枚とフロップの3枚を引いた47枚です。よって、まだ見えていないカード2枚の組み合わせは、47C2 = 1081通りになります。この1081通りのうち、期待されるカードがオープンされる組み合わせが何通りあるかによって確率とポットオッズが決定します。
　この項では、期待される場面をいくつかに分けて記載します。

2.3.1 あと1枚でハンドが完成する場合

　あと1枚でハンドが完成するような場合、期待されるカードの枚数(Outs)の考え方は、2.1項のターンでの考え方と同じです。例えば、フロップがオープンされた時点で、4枚フラッシュ(フラッシュ・ドロー)の状態なら、あと1枚の同スーツのカードがあればよいので、Outsは 13-4 = 9枚となります。
　期待されるカードが、ターンかリバーの「いずれか」でオープンされる組み合わせを考えるとき、最も楽な考え方としては、47枚から2枚選ぶ組み合わせ1081通りから、期待されるカードがオープン「されない」組み合わせを「引く」手法が挙げられます。
　上記のフラッシュ・ドローの状態であれば、Outsは9枚なので、それ以外のカードは 47-9 = 38枚です。38枚のカードのうち2枚のカードがオープンされる組み合わせは、38C2 = 703通りとなります。これを1081通りから引くと、378通りがターンかリバーのいずれかでドローカード(同スーツのカード)がオープンされる組み合わせ、ということになります。よって、確率は 378 / 1081 = 0.3497(34.97%)で、ポットオッズは 1.86-to-1 となります。

　以下の表は、同じ状況におけるOutsに対する確率とポットオッズの一覧表です。

Outs	確率	ポットオッズ	起こりうる場合の例
20	0.6753(67.53%)	0.48-to-1
19	0.6503(65.03%)	0.54-to-1
18	0.6244(62.44%)	0.60-to-1
17	0.5976(59.76%)	0.67-to-1
16	0.5698(56.98%)	0.75-to-1
15	0.5412(54.12%)	0.85-to-1	フラッシュ・ドローかオープンエンド・ストレート・ドロー
14	0.5116(51.16%)	0.95-to-1
13	0.4810(48.10%)	1.08-to-1
12	0.4496(44.96%)	1.22-to-1	ワン・ペアからツー・ペア
11	0.4172(41.72%)	1.40-to-1
10	0.3839(38.39%)	1.60-to-1
9	0.3497(34.97%)	1.86-to-1	フラッシュ・ドロー
8	0.3145(31.45%)	2.18-to-1	オープンエンド・ストレート・ドロー
7	0.2784(27.84%)	2.59-to-1
6	0.2414(24.14%)	3.14-to-1	スリー・カードからフルハウス
5	0.2035(20.35%)	3.91-to-1
4	0.1647(16.47%)	5.07-to-1	ガットショット・ストレート・ドロー
3	0.1249(12.49%)	7.01-to-1	ハイ・カードから特定のワン・ペア
2	0.0842(8.42%)	10.8-to-1	オープンエンド・ストレート・フラッシュ・ドロー
1	0.0426(4.26%)	22.5-to-1	スリー・カードからフォー・カード

　フロップでのポットオッズですが、自分が出すことになるチップ量については、深く考える必要があります。
　ターンを見るためにコールしますが、もしかするとリバーを見るためにもチップを払わなければいけないかもしれません。そのように考えるなら、ポットオッズはターンとリバーの両方で払うチップ量とそれに伴ったポットを意識しなければなりません。
　この項では単純に確率のことだけを記載していますが、むろん、ポーカーは確率がすべてではないので、いろいろ考えることが必要です。

2.2 ポットオッズ

2.2 ポットオッズ

　ポットオッズとは、ざっくり言って「今出そうとしているチップ額に対するポットの確率的妥当性」を意味します。
　例えば、ターンで、コールするために4ドルのチップを出す必要があり、このときポットが16ドルだったとします。4ドル出して16ドルのポットなので、リバーに期待されるカード(勝つことの出来るカード)の オッズは 16:4 = 4:1(4-to-1) で 、確率的には1/(1+4) = 20% であれば妥当だといえます。つまり、この状況で、ガットショット・ストレート・ドローならオッズはまったく合わないし、ストレート・ドローならオッズはわずかに合わないし、フラッシュ・ドローであればオッズはほぼ合っているし、フラッシュ・ドローかオープンエンド・ストレート・ドローのいずれかでよいならオッズは十分に合っている、と言えます。

　前項でリバーで期待されるカード(Outs)がオープンされる確率について記載しましたが、これをポットオッズに置き換えると以下の表になります。

Outs	ポットオッズ	起こりうる場合の例
20	1.3-to-1
19	1.42-to-1
18	1.56-to-1
17	1.71-to-1
16	1.88-to-1
15	2.07-to-1	フラッシュ・ドローかオープンエンド・ストレート・ドロー
14	2.29-to-1
13	2.54-to-1
12	2.83-to-1	ワン・ペアからツー・ペア
11	3.18-to-1
10	3.6-to-1
9	4.11-to-1	フラッシュ・ドロー
8	4.75-to-1	オープンエンド・ストレート・ドロー
7	5.57-to-1
6	6.67-to-1	スリー・カードからフルハウス
5	8.2-to-1
4	10.5-to-1	ガットショット・ストレート・ドロー
3	14.3-to-1	ハイ・カードから特定のワン・ペア
2	22-to-1	オープンエンド・ストレート・フラッシュ・ドロー
1	45-to-1	スリー・カードからフォー・カード

　実戦向けには、よくある場面から少しずつ覚えていくのがよいかもしれません。例えば、フラッシュ・ドローの場面では、コールするのに2ドルのチップが必要ならポットは8ドル以上、4ドルのチップが必要ならポットは16ドル以上が必要、という具合にです。

　ポットの大きさを意識してプレーすることは重要なことで、その意味からも常にポットオッズを考えることは有益です。上手な(強い)プレーヤーは、ポットに対するオッズを考えるだけではなく、オッズに合った(あるいは、オッズに合わさせないような)ポットを作るようにプレーしています。
　ポットに見合ったプレーが出来る、ということは上達のひとつの指標になるかと思います。

【2006/03/17追記】ポットオッズの計算方法が間違っていましたので、全体的に修正しました。iosanさん、ありがとうございました。