少し安定してきました

　都合がついたので、またエベレストポーカーのブロガー限定フリーロールに参加してみました。
　結果は、7位/37人でした。
　入賞は5位からだったので、よくやる「目前敗退」です。最後は、AJoを持ってアーリーでオールインして、A8oのほぼ同額のカットオフにオールインされて、フロップにAと8が落ちて終了でしたので、仕方のないところです。
　その前に、7のポケットペアで、Qのポケットペアに突っ込んでしまったのが、大きなミスでした。

　で、どうもプレーヤーの方の中には、顔見知りの方もいらっしゃるようなので、このトーナメントの詳しいコメントはしないことにしておきます(笑)。
　それと、基本的にチャットは見ていないので、話し掛けられても無視状態となってしまいますが、ご容赦を。

　ポイントの方は、先日$0.25+&0.02のトーナメントで2位となり、$2.37となりました。
　それと、今週になってオマハがプレーできるようになったので、そちらも楽しんでみたいと思っています。

その後の覚書

　そして、その後シングルテーブルの$0.10+$0.01ノーリミットホールデム(以下、ゲームは同じ)を5回プレーして1位1回2位2回、$0.25+$0.02にステップアップして優勝し、ポイントが$2.48まで増えました。
　しかし、今日、さらにステップアップした$0.50+$0.05であっさり敗退。ステップダウンした$0.25+$0.02でまたあっさり敗退した後、もう1度参加した$0.25+$0.02で何とか3位に食い込んで、現在のポイントは$1.89となりました。しかし、最後のトーナメントは勝負どころでまくられっぱなしでした。

　で、$0.50+$0.05での間抜けな敗退シーンの話です。

　ゲームはノーリミットホールデム、ブラインドは5/10、ステークスは10/10。
　プレーヤーは10人、Seat1(980)=SB、私(820)=BB、Seat3(1000)、Seat4(970)、Seat5(1000)、Seat6(1000)、Seat7(900)、Seat8(920)、Seat9(845)、Seat10(1565)=Button。
　私のポケットは、5c 9d。
　プレフロップ、Seat3コール、Seat4コール、Seat5フォールド、Seat6コール、Seat7コール、、Seat8フォールド、Seat9コール、Seat10コール、Seat1コール、私は「特別なことをする必要もなく」チェック。ポットは80、残りは8人（やっぱり多いな～）。

　フロップは、9c 6c Jc。
　Seat1チェックで、私は「打てばあまり考えずに降りてくれる人もいるので、ちょっと様子見で」ベット20、Seat3フォールド、Seat4コール、Seat6フォールド、Seat7コール、Seat9フォールド、Seat10コール、Seat1フォールド。ポットは160、残りは4人（クラブ持ちがいっぱい？）。

　ターンは、9s。
　私は「コールするだけってことは、フラッシュはいない？」とベット40、Seat4コール、Seat7コール、Seat10コール。ポットは320、誰も落ちず。

　リバーは、3s。
　私は「とりあえず」チェック、Seat4がベット55、Seat7はフォールド、Seat10がレイズ485、で私は「フラッシュはないと思う（根拠なし）」コール、Seat4がオールイン、Seat10コール、で私は「ここで我慢…できない」オールインコール。

　Seat10は6s 6dで、Seat4はKd 9h。
　確かにフラッシュはいませんでした。でも、フラッシュ警戒で降りておけば、結果オーライの場面で、無茶しました。sigh...

駄目駄目プレーヤー

　お誘いを受けて、エベレストポーカーのブロガー限定フリーロールに参加してみました。
　で、結果は22位/40人でした。
　結果もですが、プレーも今ひとつ冴えませんでした。冴えない、というより駄目っぷりを発揮したと言った方が良いくらいで、ノーリミットでどうやって戦えばよいのか、さっぱり分からなくなっている状態です。
　何が駄目かと言えば、
・プリフロップで参加しすぎ（しかもコールが多い）
・アクションにメリハリがなくルーズなプレーが多すぎ
・相手の手を恐れてアグレッシブにプレーできない
といったところでしょうか。
　中途半端なプレーの応酬で、振り返ってみても反省点しかない…という、後ろ向きな気持ちも悪い結果を招いているのでしょう。sigh...
　その他、最後の記録から3回ほどシングルテーブルの$0.1+$0.01ノーリミット・ホールデムに参加しましたが、いずれも結果は出ず、現在は$0.95…道は険しいです。

浮き沈み

　気が向きました。
　ハンドの浮き沈みはポーカーの醍醐味。とは言っても、ターンでまくったのにリバーで逆襲に遭うのは、とても悲しい出来事です。ということで、久しぶりにプレー履歴です。
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　ゲームはリングゲームのリミットHold'emで、ブラインドは$0.01/$0.02、ステークスは$0.02/$0.04。
　プレーヤーは、Seat1($1.68)、私($2.02)=Button、Seat4($1.85)=SB、Seat5($2.34)=BB、Seat6($0.30)。
　私のポケットカードはKd Kh。

　プレフロップ、Seat6フォールド、Seat1コール、私は「いいポケットであることを主張するべく」レイズ、Seat4フォールド、Seat5コール、Seat12コール。
　フロップは、5c Ah 3d。Seat5ベット、Seat1コール、私は「Aを持っている人を確認するため」レイズ、Seat5リレイズ、Seat1コール、私も「なんだ、Aいるのか。でも」コール。
　ターンは、Ks。Seat5チェック、Seat1チェック、私は「セットなら勝てるでしょう」レイズ、Seat5コール、Seat1コール。
　リバーは、As。Seat5レイズ、Seat1フォールド、私は「Aフルかも知れないけど、」レイズ、Seat5リレイズ、私は「フル確認」コール。
　Seat5はAc 3h。
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　フロップでAを確認したからリバーで無駄なレイズの応酬をせずに済んだ、と主張したいわけですが、まぁ虚しいばかりです。
　このリングゲームで、ポイントは+$0.54で総計は$2.57になりました。

　(そしてその後…)
　$0.25+$0.02ノーリミット・ホールデムのシングルテーブル・トーナメントで2位となり、調子に乗って参加した$1+$0ノーリミット・ホールデムのマルチテーブル・トーナメントにおいてポケットペアJでポケットペアAに突っ込んでしまい早々に飛び、減らした分を取り戻そうかと入った$0.02/$0.04リングゲームで+$0.50として挑んだ$0.25+$0.02のトーナメントでいいところなく飛び、再び$0.02/$0.04リングゲームに戻ったらバイインした$1が0となってしまいました。
　ということで、現在の総計は$1.28で大きく後退です。sigh...

新しいこと始めてみました

　前回のエントリーから早1年以上が経ち、さほど上達したわけでもありませんが、なんとなく新しいことを始めてみました。それは、「オンライン・ポーカーで入金せずにどれくらいポイントを稼げるか」ということです。

　この試みにあたって、新しいオンライン・ポーカーEverestPokerを使用することにしました。理由は、日本語の公式サイトがあることと、(当面関係ありませんが)日本人向けのプロモーションがあることです。と同時に、Sit&Goのシングルテーブルのキャッシュフリーロール・トーナメントがあるので、これを利用しての試みとなります。
　公式サイトには「8つあるトーナメントで$80を勝ち取りましょう！」などと景気のいいことが書かれていますが、今世の中の厳しさを実感しています。はじめてから2週間ほど経ちますが、現在のポイントは$2.03です。以下、とても細かい数字の話になります。ほとんど「覚書」なので、気にしないでください。

　最初は選択の余地がほぼないので、上記の$0+$0のリミットのシングルテーブル・トーナメントに参加しました。このトーナメントは参加は無料ですが、賞金プールがなんと$0.10もある大変お得なトーナメントです。このトーナメントで優勝すれば、次にバイインの小さい(けど、まったくお徳ではない)、$0.04+$0.01のノーリミット・シングルテーブル・トーナメントに参加するだけのポイントがたまります。
　$0+$0で$0.1ぐらい貯まったら$0.04+$0.01をプレーする、の繰り返しにより総計で、$0+$0を24回(も)プレーして1位7回、2位2回、3位1回、$0.04+$0.01を4回プレーして1位2回の結果で、ポイント残高は$0.63となりました。
　ここで、思い切って、プレーする場所をさらに1つ上の$0.10+$0.01のノーリミット・シングルテーブル・トーナメントにレベルアップしてみました。で、こちらは10回プレーして1位1回、2位4回、3位1回となり、残高は$1.43となりました。
　現在、トーナメントは、さらにレベルアップして、$0.25+$0.02のノーリミット・シングルテーブル・トーナメントに参加していますが、調子が今ひとつで3回プレーして6位4位4位と、とっても悲しい状態となっています。

　残高が$1越えたあたりから、リングゲームにも参加してみました。ノーリミットは苦手なので、リミットの一番低いステークス$0.02/$0.04のテーブルに参加してみました。最初は、最大10人テーブルで-$0.17という結果でしたが、最大6人テーブルに参加してからは好調で、現在までに$1.6を獲得してます。

　先述のとおり、これは覚書ですが、気が向いたら前みたいなことも書こうかと思ってます(と言いながら、気が向くことはあまりないような…)。

痛い目には当然あう

　久しぶりに記事掲載です。

　なにやらDUKEの常連さん含め、多くの日本人プレーヤーがWSOPのトーナメントに参加されているようですね。これでブレスレット獲得者が出たら、日本におけるポーカーの認知度も大きく向上するのではないか、と大いに期待しています。日本から健闘を祈っています。って、11日に書き込もうとしたら、ココログはメンテナンス中でした。多くの方が帰国されたようですが、これからの方々もいらっしゃいますので、引き続き健闘を祈っています。

　さて、自分自身はどうかというと、最近、ブログの更新はお休みしたままですが、プレーの方はDUKEに行ったり、PartyPokerのライブに参加したりと、ぼちぼち楽しんでいます。
　PartyPokerは相変わらず、ハメに来る人が多いようです。先日、$3/$6（ブラインドは$1/$3）のTexas Hold'emテーブルでこんなことがありました。
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　テーブルは5人、Seat 1 ( $144 ), 私 ( $202.50 )=Button, Seat 4 ( $39 )=SB, Seat 5 ( $76 )=BB, Seat 6 ( $53 )。
　プリフロップ、私のポケットはAc Kc。
　Seat 6フォールド、Seat 1レイズで、私はAKをアピールすべくリレイズ、SBリレイズ、BBフォールド、Seat 1コールで、私はとりあえずコール。残りは3人。
　フロップは、Jd, Jc, Ah。
　SBベット、Seat 1フォールドで、私は「SBがJを持っているかどうか確認するため」レイズ、SBコール。ヘッズアップ。
　ターンは、5h。
　SBチェックで、私は「ハメチェックに見える」のでチェック。
　リバーは、8d。
　SBベットで、私は「ひょっとしたらということもあるので、確認のため」コール。
　SBから出てきたのはAs, Ad。
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　ということで、勘違いプレーヤーが多いこともあり、基本的にはショウダウンまでついていくことにしている私にとっては少し得した場面でした。もっとも、「ついていく」プレーをしていると、普通のプレーに痛い目にあいます。その典型例が次です。$3/$6のTexas Hold'emの同じ日ですが先ほどとは違うテーブルです。
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　テーブルは5人、
　Seat 1 ( $318 ), 私 ( $169 )=Button, Seat 4 ( $166.50 )=SB, Seat 5 ( $511 )=BB, Seat 6 ( $203 )。
　プリフロップ、私のポケットはTd Ts。
　Seat 6フォールド、Seat 1レイズで、私は「フロップを見てから考えよう」とコール、SBコール、BBコール。残りは4人。
　フロップは、4d, 5s, Kd。
　SBチェック、BBチェック、Seat 1ベットで、私は「Aだけでベットする人もいるから確認のため」レイズ、SBコール、BBフォールド、Seat 1リレイズで、私は「フラッシュ･ドローかな？少なくともKはなさそう。とりあえず最後までついていくために」コール、SBコール。残りは3人。
　ターンは、Ks。
　SBチェック、Seat 1ベットで、私は「最後までついていくと決めたので」コール、SBフォールド。ヘッズアップ。
　リバーは、7d。
　Seat 1ベットで、私は「ダイヤが落ちたのは痛い」のでコール。
　Seat 1から出てきたのはKh, Kc。
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　勝ってると思っていたので、ちょっとびっくりしました。ハメようとしないプレーヤーもいるんですね。

「2.3.1 あと1枚でハンドが完成する場合」続き

（「2.3.1 あと1枚でハンドが完成する場合」続き）

　前回の記事では、「期待されるカードが、ターンかリバーのいずれかでオープンされる組み合わせ」について考えましたが、ここにひとつの落とし穴があります。それは、期待されるカードがターンとリバーの「いずれにも」オープンされると困る場合がある、ということです。

　ここまで、例としてフラッシュ･ドローを挙げてきましたが、この「困る場合」の例としてもフラッシュ･ドローが分かりやすいかと思います。
　例えば、今、6s-Ksを持っていて、フロップに2s-9s-Adがオープンされ、あと1枚でフラッシュになるのは自分だけだとします。ここで、ターンにQsがオープンされました。フラッシュは完成です。しかし、リバーで7sがオープンされたとします。こうなると話は違います。ボードに4枚のスペードがあるのですから、手札に1枚のスペードがあればフラッシュは完成です。そして、それがAならナッツです。

　期待するカードがターンかリバーで1枚だけオープンされてほしいときの組み合わせは、Outs*(47-Outs)となります。あるいは、「いずれか」の組み合わせから、Outsのうちの2枚がオープンされる組み合わせを引いた数になります。
　フラッシュ･ドローの状態であれば、Outsは9枚なので、1枚だけオープンされてほしいときの組み合わせは 9*(47-9) で342通りとなります。よって、確率は 342 / 1081 = 0.3164(31.54%)で、ポットオッズは 2.16-to-1 となります。

　以下の表は、同じ状況におけるOutsに対する確率とポットオッズの一覧表です。

Outs	確率	ポットオッズ	起こりうる場合の例
20	0.4995(%)	1.00-to-1
19	0.4921(%)	1.03-to-1
18	0.4829(%)	1.07-to-1
17	0.4718(%)	1.12-to-1
16	0.4588(%)	1.18-to-1
15	0.4440(%)	1.25-to-1	フラッシュ・ドローかオープンエンド・ストレート・ドロー
14	0.4274(%)	1.34-to-1
13	0.4089(%)	1.45-to-1
12	0.3885(%)	1.57-to-1	ワン・ペアからツー・ペア
11	0.3663(%)	1.73-to-1
10	0.3423(%)	1.92-to-1
9	0.3164(%)	2.16-to-1	フラッシュ・ドロー
8	0.2886(%)	2.46-to-1	オープンエンド・ストレート・ドロー
7	0.2590(%)	2.86-to-1
6	0.2276(%)	3.39-to-1	スリー・カードからフルハウス
5	0.1943(%)	4.15-to-1
4	0.1591(%)	5.28-to-1	ガットショット・ストレート・ドロー
3	0.1221(%)	7.19-to-1	ハイ・カードから特定のワン・ペア
2	0.0833(%)	11.0-to-1	オープンエンド・ストレート・フラッシュ・ドロー
1	0.0426(%)	22.5-to-1	スリー・カードからフォー・カード

シカでした～（誤解によるお詫びと訂正）

　コラム：ポットオッズと期待値にも書きましたが、再びiosanさんからのコメントとトラックバックによる指摘を受けて、私が大きく勘違いしていることを理解しました。
　私が大きく勘違いしていたのは、
　　オッズ＝期待値（を1として求めた比率）
　だと思っていたことです。これにより、誤った内容の記事を掲載してしまいましたので、コラム：ポットオッズと期待値全面的に書き換えました。以前の記事を読まれた方に誤解を与えてしまい、申し訳なく思います。ごめんなさい。
　それから、以前の記事では「2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を納得していない」と掲載しましたが、今は納得しています。指摘していただいたiosanさんに改めて感謝いたします。

　上記にも書いたように、私は「オッズ」の概念を全く誤解していました。自分の勉強不足を痛感しましたが、更なる誤解をしている可能性も否定できないところが情けないところです。「確率」には苦手意識が強く、このブログを書くにあたって勉強し直しました。結構理解したつもりでいたから掲載を再開したのですが、まだまだのようです。
　と、反省だけで終わってしまうのもなんなので、恥かきついでに私の考えと調べたことを掲載します。

　本来であれば、David Sklanskyの著書など系統立てて記述されている参考書を読んだ上で「戦術論」を書くべきなのでしょうが、それをしたくありません。英語の著書を読むのにかなりの時間を要し、その時間を割く気力に欠けていることも読んでいない理由のひとつですが、「自分の考えで、さまざまな要素を消化して、自分なりの内容を書きたい」と思っていることが一番大きな要因です。だから、参考書の考え方に引きずられたくないので、ほとんど読んでいません。
　当然、私が絶対的に正しいことを書いている保障は出来ませんし、見方によっては驕った考えに受け止められても仕方がないかと思います。が、参考書に書いてあることはその本を読めばよいわけですし、また著者に敬意を払う意味でも考え方をコピーしたくはありません。どんな本がよいかについては、私よりもポーカー経験がずっと豊富な方々が、ブログなどに掲載していますので、そちらを見てください。

　今、確率の話を中心に書いていますが、そのような理由からポーカー参考書にはほとんど目を通していません。見るのは、自分で計算した値が、正しいかどうかを確認するときぐらいです。唯一、Catalin Barboianu著Texas Hold'em Oddsだけは内容を理解しようと努めています。もっとも、内容的には確率の話「しか」記載されていないので、ポーカー参考書としては特殊ですが。

　確率の勉強で参考とした本と主なサイトは以下のとおりです。

・谷岡一郎著「確率・統計であばくギャンブルのからくり」
・横田 壽さんの確率論入門から順列・組み合わせ
・ヨッシーの算数・数学の部屋から順列と組み合わせ

　また、今回の「オッズの勘違い」を正すために、以下のサイトも参考にしました。

・The Math Forum - Ask Dr. MathからOdds vs. Probability

　ちなみに、持っているだけですが、以下の本を所有しています。
・David Sklansky著「Hold 'Em Poker」
・David Sklansky, Mason Malmuth著「Hold'Em Poker for Advanced Players」
・Lou Krieger著「Hold'Em Excellence」
・David Sklansky著「The Theory of Poker」
・Edwin Silberstang著「Winning Poker for the Serious Player」
　…それだけ持っているなら読めよ、という声が聞こえてきそうです。きっと…いつか…多分…読むつもりです。

コラム：ポットオッズと期待値

【2006/03/23：お詫びと訂正】
　再びiosanさんからのコメントとトラックバックによる指摘を受けて、私が大きく勘違いしていることを理解しました。
　私が大きく勘違いしていたのは、
　　オッズ＝期待値（を1として求めた比率）
　だと思っていたことです。これにより、誤った内容の記事を掲載してしまいましたので、全面的に書き換えます。以前の記事を読まれた方に誤解を与えてしまい、申し訳なく思います。ごめんなさい。
　それから、以前の記事では「2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を納得していない」と掲載しましたが、今は納得しています。iosanさんに改めて感謝いたします。

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　2.2 ポットオッズでコメントによる指摘を受けて修正を行ないましたが、オッズの考え方がどうも私には馴染みません。いろいろと誤解していた部分もありましたが、コメントやトラックバックによる指摘を受け、また、買ったまままったく読んでいないDavid Sklansky著「The Theory of Poker」に記載されている5カード・ドロー・ポーカーの実例に目を通すことで、オッズが「負ける可能性と勝つ可能性の比率」であることは理解しました。でも、どうも馴染めないのです。それは、私が、オッズではなく、期待値を考えようとしているからかもしれません。

　改めて、期待値について谷岡一郎著「確率・統計であばくギャンブルのからくり」から引用すると、「期待値 = (理論上)平均して戻ってくる金額 / (実際に)賭ける金額」及び「言葉で定義するとすれば『ある特定の賭け方に対し、理論上戻ってくる割合』である」と記載されています（この本では「％」で記載されているのですが、それは省きました）。期待値が1以上である状況が望まれるわけです。

　期待値を1として考えたときに、賭けるチップ量が4ドルの場合、理論上戻ってくる平均チップ量が4であれば良いわけです。
　例えば、同じ状況下で0.2(20%)の確率、つまり5回に1回の割り合いで勝つことが出来ると仮定します。この場合、1回勝つために5回の勝負が必要です。5回の勝負で期待値が1となるような「勝ったときに戻ってくるチップ量」を考えると、毎回の賭けるチップ量が4ドルなら、理論上戻ってくる平均チップ量も4ドルであればよいので、その5回分の20ドルとなります。
　このように考えれば、Outsの確率が0.2のとき、戻ってくるチップ量と賭けるチップ量の比から、20:4 = 5:1 と考えた方が私にとっては自然です。
　ここで注意すべき点は、「戻ってくるチップ量（＝ポット）には、自分が賭けるチップ量も含む」ということです。

　オッズと組み合わせの考えに基づき、出ない組み合わせ（負ける可能性）と出る組み合わせ（勝つ可能性）の比率で考えるときは、目の前のポットが対象であり、ポットにはこれから増える（賭ける）チップ量は含まれません。この考え方は、将来的に起こりうる場面を想定する場合に複雑化する、と私は考えています。
　例えば、1-2-2-4のリミットテーブルで、ポジションはButton、プリフロップで自分がコール、BBチェックで2人が残り、フロップで自分はオープンエンド･ストレート･ドローの状態で、BBがベットしたとします。目の前のポットは7ドルです。私が掲載した2.3 フロップでの確率とポットオッズの表では、オープンエンド･ストレート･ドローのフロップでの確率は0.3145で、ポットオッズは2.18-to-1です。今から出す2ドルに対し、今目の前のポットは十分オッズに合います。しかし、期待するカードはターンかリバーのいずれかでオープンされる確率なので、期待されるカードがリバーでオープンされる（ターンでオープンされない）可能性を考え、ターンで起こりうる状況も想定する必要があります。
　必ずリバーまでカードを見ることを想定し、フロップで自分がコールした後、ターンではストレートが完成しなかったが、BBは再びベットすると想定します。その状況で目の前にあるポットは13ドルとなります。この状況におけるフロップ時点でのオッズは合うのでしょうか。ターンで4ドル出すのだから、目の前には 4 * 2.18 で9ドル以上のポットがあればよい?　いや、フロップで2ドル、ターンで4ドル出すのだから、合わせて6ドルと考えると、6 * 2.18 = 13.08 でオッズはほぼ合う?　いえ、13ドルに自分がフロップで出す2ドルが含まれるのだから、ポットは13ドルではなく11ドルと考えるべきで、オッズは合わなくなります。

　そもそも想定されるポットに自分が出すチップを加算するものではない、とすることがオッズの考え方だと思うのですが、それよりも自分が出したチップを含んだポットを想定した方が、私は自然だと思っています。
　上記の例で言えば、プリフロップが終わってポットは5ドル、フロップで2人とも2ドル出すなら合わせて4ドルでポットは9ドル、ターンで2人とも4ドル出すなら合わせて8ドルでポットは17ドルです。期待値から「戻ってくるチップ量」の比率を考えると、フロップでは3.18:1です。フロップの時点で上記の例のようにターンまで想定すると、自分がフロップとターンで出す6ドルに対し、期待値が1となる比率から算出されるポットは 6 * 3.18 で19ドルとなり、期待値が1を下回ります。

　ということで、もし私のように考える人がいらっしゃれば、このブログに掲載したポットオッズに、それぞれ1を足して考えるようにしてください。

【おまけ】
　いずれ書こうと思っている「駆け引き」について、少し書いておきます。
　上記の例はターンでBBにベットされていることを想定して「期待値が1を下回る」と書いています。逆に言えば、ターンでBBにベットされなければ期待値が1を上回ります。そのために出来ることがあります。フロップで、BBのベットにレイズするのです。BBのハンドしだいで、レイズにコールは出来ても、ターンでベットすることが出来ない可能性があります。ターンで、BBがチェックで、自分もチェックなら、ポットはプリフロップの5ドルとフロップの 4 * 2 = 8ドルで計13ドルです。自分が出した4ドルに対し、ポット（戻ってくるチップ量）が13ドル以上のポットなら期待値が1を上回ります。考え方は違いますが、このときのオッズも（もちろん）合います。
　これが、「オッズに合うようにポットを作る」一例です。

2.3 フロップでの確率とポットオッズ

　フロップがオープンされた時点で、まだ見えていないカードの枚数はターンとリバーの2枚です。このときの残りのカード枚数は、52枚から自分のカード2枚とフロップの3枚を引いた47枚です。よって、まだ見えていないカード2枚の組み合わせは、47C2 = 1081通りになります。この1081通りのうち、期待されるカードがオープンされる組み合わせが何通りあるかによって確率とポットオッズが決定します。
　この項では、期待される場面をいくつかに分けて記載します。

2.3.1 あと1枚でハンドが完成する場合

　あと1枚でハンドが完成するような場合、期待されるカードの枚数(Outs)の考え方は、2.1項のターンでの考え方と同じです。例えば、フロップがオープンされた時点で、4枚フラッシュ(フラッシュ・ドロー)の状態なら、あと1枚の同スーツのカードがあればよいので、Outsは 13-4 = 9枚となります。
　期待されるカードが、ターンかリバーの「いずれか」でオープンされる組み合わせを考えるとき、最も楽な考え方としては、47枚から2枚選ぶ組み合わせ1081通りから、期待されるカードがオープン「されない」組み合わせを「引く」手法が挙げられます。
　上記のフラッシュ・ドローの状態であれば、Outsは9枚なので、それ以外のカードは 47-9 = 38枚です。38枚のカードのうち2枚のカードがオープンされる組み合わせは、38C2 = 703通りとなります。これを1081通りから引くと、378通りがターンかリバーのいずれかでドローカード(同スーツのカード)がオープンされる組み合わせ、ということになります。よって、確率は 378 / 1081 = 0.3497(34.97%)で、ポットオッズは 1.86-to-1 となります。

　以下の表は、同じ状況におけるOutsに対する確率とポットオッズの一覧表です。

Outs	確率	ポットオッズ	起こりうる場合の例
20	0.6753(67.53%)	0.48-to-1
19	0.6503(65.03%)	0.54-to-1
18	0.6244(62.44%)	0.60-to-1
17	0.5976(59.76%)	0.67-to-1
16	0.5698(56.98%)	0.75-to-1
15	0.5412(54.12%)	0.85-to-1	フラッシュ・ドローかオープンエンド・ストレート・ドロー
14	0.5116(51.16%)	0.95-to-1
13	0.4810(48.10%)	1.08-to-1
12	0.4496(44.96%)	1.22-to-1	ワン・ペアからツー・ペア
11	0.4172(41.72%)	1.40-to-1
10	0.3839(38.39%)	1.60-to-1
9	0.3497(34.97%)	1.86-to-1	フラッシュ・ドロー
8	0.3145(31.45%)	2.18-to-1	オープンエンド・ストレート・ドロー
7	0.2784(27.84%)	2.59-to-1
6	0.2414(24.14%)	3.14-to-1	スリー・カードからフルハウス
5	0.2035(20.35%)	3.91-to-1
4	0.1647(16.47%)	5.07-to-1	ガットショット・ストレート・ドロー
3	0.1249(12.49%)	7.01-to-1	ハイ・カードから特定のワン・ペア
2	0.0842(8.42%)	10.8-to-1	オープンエンド・ストレート・フラッシュ・ドロー
1	0.0426(4.26%)	22.5-to-1	スリー・カードからフォー・カード

　フロップでのポットオッズですが、自分が出すことになるチップ量については、深く考える必要があります。
　ターンを見るためにコールしますが、もしかするとリバーを見るためにもチップを払わなければいけないかもしれません。そのように考えるなら、ポットオッズはターンとリバーの両方で払うチップ量とそれに伴ったポットを意識しなければなりません。
　この項では単純に確率のことだけを記載していますが、むろん、ポーカーは確率がすべてではないので、いろいろ考えることが必要です。